La diferencia entre "Asimismo" y "Así mismo" es tan tenue que durante mucho tiempo me parecieron ser equivalentes. En blogs como Wikilengua o el Blog de la Lengua Española muestran diferentes ejemplos de cómo debe usarse cada uno. Sin embargo, para ser más claro, aquí trataré de usar un mismo ejemplo y cuál es esa sutil diferencia entre cada uno:
El candidato prometió a gritos que terminará con la delincuencia. Asimismo, ofreció más empleos para los trabajadores.
En este caso, "asimismo" es equivalente a "también" (El candidado prometió que terminará con la delincuencia y también ofreció más empleos...).
El candidato prometió a gritos que terminará con la delincuencia. Así mismo, ofreció más empleos para los trabajadores.
Sin embargo, aquí se emplea "así mismo" para dar a entender que el candidato ofreció más empleos de la misma forma como prometió terminar con la delincuencia, es decir, "a gritos". En este ejemplo, "así mismo" equivale a "de la misma forma o manera".